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Die axiomatischen Theorien teilen sich auf formal und informell. Die informellen axiomatischen Theorien sind – den plurale Inhalt ausgefüllt, der Begriff der Ableitbarkeit in ihnen ist ziemlich verschwommen und in bedeutendem Grade stützt sich auf den gesunden Menschenverstand.

Zu sagen, dass irgendwelche Behauptung in T — bedeutet, zu sagen, dass es einigen formalen Beweis gibt, der zu ihm bringt. Die Beweisbarkeit — die syntaktische Eigenschaft, und nicht semantisch. Andererseits, zu sagen, dass irgendwelche Behauptung wahrhaft ist — bedeutet, zu sagen, dass wenn wir es laut der gewöhnlichen Interpretation der Symbole T (d.h. * werden wir wie die "Multiplikation", das Symbol 0 — wie die Zahl 0 verstehen, interpretieren.), so bekommen wir die wahrhafte Behauptung über die natürlichen Zahlen.

Unter den mathematischen Theorien heben sich die Theorien der ersten Ordnung heraus. Diese Theorien lassen in der Darlegung die Prädikate nicht zu, die als Argumente andere Prädikate und die Funktionen haben. Außerdem werden die Operationen nach den Prädikaten und den Funktionen nicht zugelassen. Die Theorien der ersten Ordnung heißen noch von den elementaren Theorien.

Für willkürliche Theorien der ersten Ordnung fordert das Theorem der Deduktion, das von uns in der Berechnung der Aussprüche bewiesen ist, die Veränderung. In der ursprünglichen Art, wobei keiner Beschränkungen auf gegenständlich variabel, eingehend in, aufgelegt wurde. Für die Gerechtigkeit des Theorems der Deduktion für willkürliche Theorien der ersten Ordnung muss man sie auf folgende Weise ändern.

Das Problem der Erkennung der Selbstanwendbarkeit. Es ist das zweite Problem, deren positive Lösung bis jetzt nicht gefunden ist. Ihr Wesen besteht im Folgenden. Das Programm des Wagens Tjuringa kann man von irgendwelcher bestimmten Chiffre verschlüsseln. Auf dem Band des Wagens kann man ihre eigene Chiffre darstellen, die im Alphabet des Wagens aufgezeichnet ist. Hier sind wie auch im Falle des gewöhnlichen Programms zwei Falle möglich:

Das formale System heißt, wenn sie gleichzeitig irgendwelche Behauptung und seine Negation nicht beweisen kann, d.h., den Widerspruch beweisen. das formale System ist es schlecht und es ist tatsächlich vergeblich, da man leicht vorführen kann, dass man aus dem Beweis des Widerspruchs den Beweis was sonst bekommen kann. beweist das formale System überhaupt eine beliebige Behauptung, so dass es nichts interessant in ihr gibt.

Von der assoziativen Berechnung heißt die Gesamtheit aller Wörter in einigem Alphabet zusammen mit irgendwelchem endlichem System der zulässigen Substitution. Für die Aufgabe der assoziativen Berechnung ist genügend es, das entsprechende Alphabet und das System der Substitution aufzugeben.

Wo - eine willkürliche Formel der Theorie der natürlichen Zahlen. Das neunte Axiom heißt vom Prinzip der mathematischen Induktion. Die Axiome 1-2 gewährleisten die offensichtlichen Eigenschaften der Gleichheit, die Axiome 5-8 berichten die Eigenschaften der Operationen der Addition und der Multiplikation.

Erstens wird das erste Theorem über die Unvollständigkeit G±delja im Beweis des zweiten Theorems über die Unvollständigkeit G±delja, die beweist, dass "herankommend" (verwendet in etwas anderer, aber ähnlich mit beschrieben höher, das formale System T den Sinn eigen, wenn sie (wenn sie, so kann sie alles Mögliche beweisen, einschließlich eigen nicht beweisen kann, wie paradox es tönt). Ich werde nicht auf Einzelheiten eingehen, aber ich werde nur bemerken, dass man im Laufe des Beweises des zweiten Theorems über die Unvollständigkeit vorführen muss, dass man den Beweis des ersten Theorems über die Unvollständigkeit innerhalb des Systems T formalisieren kann. Von anderen Wörtern, es ist "wenn T nicht einfach, so ist sie" (die dritte Version des ersten Theorems über die Unvollständigkeit unvollständig, siehe, aber auch diese Behauptung (ist genauer, seinen arithmetisch kann man im System T beweisen. Aber man während "innerhalb" des Systems T solche Begriffe formalisieren kann, wie sich "das formale System", "" und "die Fülle", zeigt, dass der Begriff "des Wahrheitsgehalts", innen T zu formalisieren im Prinzip unmöglich ist. Deshalb wenn auch sind die ersten und zweiten Varianten des Theorems G±delja, sie für den Beweis eben einfacher, können für den Beweis des zweiten Theorems G±delja nicht verwendet sein.